MECHANIKA

DYNAMIKA POHYBU HMOTNÉHO BODU

Posuvný pohyb po vodorovné a nakloněné rovině

Třecí síla a rozbor nakloněné roviny.

Kompletní rozbor pohybu tělesa při působení vnějších sil na toto těleso v různých situacích.

A) VODOROVNÁ ROVINA

A1) NA TĚLESO NEPŮSOBÍ ŽÁDNÁ VNĚJŠÍ SÍLA

FG … tíhová síla (FG = m · g)

působiště: těžiště (bod S)

FN … tlaková síla podložky

působiště: ve středu dotykové plochy tělesa s podložkou (bod A)

FG = - FN 

FG + FN = 0

Těleso je v klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém.

A2) NA TĚLESO PŮSOBÍ STÁLÁ SÍLA F1 (TŘENÍ ZANEDBÁVÁME)

a) F1 působí rovnoběžně s vodorovnou rovinou

FN = - FG  a jsou kolmé na směr F1, proto nemají na těleso ve vodorovném směru pohybový účinek

z 2. NPZ plyne:  F1 = m · a1

těleso se pohybuje se zrychlením o velikosti

a1 = F1/m 

ve směru síly F1

b) F1 svírá s vodorovnou rovinnou ostrý úhel β

FN , FG opět nemají na těleso ve vodorovném směru pohybový účinek

sílu F1 rozložíme na 2 složky (sílu F11 a sílu F12) 

pohybový účinek z nich má pouze síla F11

navíc platí F11/F1 = cos β

F11 = F1 · cos β

těleso se pohybuje se zrychlením o velikosti

a11 = F11/m = (F1.cosβ) /m

přičemž a11 < a1

c) velikosti tlakových sil na podložku v případě a) a b)

v případě a)

tlaková síla = tíhové síle

F = FG = m · g

v případě b) 

tlaková síla = tíhová síla

složka F12 síly F1 (těleso "nadlehčuje") 

F = FG – F12

F = m · g – F1 · sin β

A3) NA TĚLESO PŮSOBÍ STÁLÁ SÍLA F1 (TŘENÍ NEZANEDBÁVÁME)

FG … tíhová síla

FN … tlaková síla podložky

F1 … vnější síla působící rovnoběžně s podložkou

Ft ... TŘECÍ SÍLA (plošná brzdící síla působící proti směru pohybu)

vlastnosti TŘECÍ SÍLY:

matematicky: Ft = f · FN

f = SOUČINITEL SMYKOVÉHO TŘENÍ

vlastnosti f

Z obrázku vyplývá, že na výsledný pohyb mají vliv tyto dvojice sil:

a) Ft, FII … tělesem otáčejí (OTÁČIVÝ ÚČINEK, d velmi malé, zanedbáváme)

b) FI, F1 … těleso posouvají (POSUVNÝ ÚČINEK), jakým směrem a jak o tom rozhoduje jejich vzájemná velikost 

FI má stejnou velikost jako síla třecí Ft, proto budeme porovnávat sílu F1 se sílou třecí (Ft)

Mohou nastat tyto 3 případy:

F1 > Ft 

těleso se pohybuje se zrychlením 

a = (F1 - Ft)/m

ve směru síly F1

F1 = Ft 

těleso je v klidu nebo pohybu rovnoměrném přímočarém

F1 < Ft 

těleso je v klidu 

smykové tření bylo nahrazeno klidovým

B) NAKLONĚNÁ ROVINA

B1) NA TĚLESO NEPŮSOBÍ VNĚJŠÍ SÍLY (TŘECÍ SÍLY ZANEDBÁVÁME)

S … těžiště

FG … tíhová síla

FN ... tlaková síla podložky

F … výslednice sil FN a FG

        její velikost: F = FG · sin β

potom pro velikost zrychlení platí:

a = F/m = (FG · sin β)/m = (m . g · sin β)/m = g · sin β

SHRNUTÍ

Pokud zanedbáváme tření, pohybuje se těleso po nakloněné rovině rovnoměrně zrychleným pohybem se zrychlením 

a = g · sin β

směrem dolů, kde g je tíhové zrychlení a β je úhel, který svírá nakloněná rovina s rovinou vodorovnou.

B2) NA TĚLESO PŮSOBÍ STÁLÁ SÍLA F1 VE SMĚRU ROVNOBĚŽNÉM S NAKLONĚNOU ROVINOU SMĚREM VZHŮRU (TŘENÍ ZANEDBÁVÁME)

F … výslednice sil FG, FN

výsledný pohyb tělesa závisí na směru a vzájemné velikosti sil F a F1

F1 > F 

těleso se pohybuje se zrychlením 

a = (F1 - F)/m

směrem vzhůru po nakloněné rovině

F1 = F 

těleso je v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu

(a = 0)

F1 < F 

těleso se pohybuje se zrychlením 

a = (F - F1)/m

po nakloněné rovině směrem dolů

B3) NA TĚLESO NEPŮSOBÍ VNĚJŠÍ SÍLY (SÍLU TŘENÍ UVAŽUJEME)

FN … tlaková síla podložky

FG … tíhová síla

Ft …  třecí síla

platí: FG = m · g     Ft = f · FN

F1, F2 jsou složky síly FG  

FG = F1 + F2

pro velikosti F1 a F2 platí: 

F1 = FG · cos β

F2 = FG · sin β

Odvození vztahu pro výsledné zrychlení tělesa a: (pro zájemce)

síly FN a F1 nemají vliv na pohybový účinek tělesa (FN + F1 = 0)

výsledná síla:

F = FG + Ft + FN

F = F1 + F2 + Ft + FN    (FN + F1 = 0)

F = F2 + Ft (opačný směr)

pro velikost F: F = F2 - Ft 

nyní dosadíme za jednotlivé síly

F = m . a (2. NPZ)

F2 = FG · sin β

Ft = f · FN = f · F1 = f . FG · cos β

po dosazení

m . a = FG . sin β - f . FG · cos β = m . g · sin β - f . m . g . cos β

po vykrácení m dostaneme

a = g · sin β - f . g . cos β

a = g · (sin β - f . cos β)

SHRNUTÍ

Pokud uvažujeme tření a vnější síla na těleso nepůsobí, pohybuje se těleso po nakloněné rovině se zrychlením 

a = g.(sinβ - f.cosβ)

směrem dolů, kde g je tíhové zrychlení, f je součinitel smykového tření a β je úhel, který svírá nakloněná rovina s vodorovnou rovinou.

ZAJÍMAVOSTI vyplývající z uvedeného vztahu: