MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ
KMITAVÝ POHYB
Perioda mechanického oscilátoru
Vyvození a popis vztahů pro periodu pružinového oscilátoru a kyvadla.
PRUŽINOVÝ OSCILÁTOR
(kmitající pružina se zavěšeným závažím)
Vztah pro periodu pružinového oscilátoru:
Parametry pružinového oscilátoru:
m ... hmotnost závaží
k ... tuhost pružiny
SHRNUTÍ
Perioda vlastního kmitání pružinového oscilátoru závisí pouze na jeho parametrech, tj, na hmotnosti m tělesa a tuhosti pružiny k.
Takové kmitání nazýváme
VLASTNÍ KMITÁNÍ OSCILÁTORU
a jeho vlastní úhlovou frekvenci značíme ω0. Periodu potom značíme T0 a frekvenci f0.
KYVADLO
(jakékoliv těleso zavěšené nad těžištěm, které se může volně otáčet kolem vodorovné osy procházející bodem závěsu kolmo k rovině kmitání)
Vztah pro periodu kyvadla:
Parametr kyvadla:
l ... délka závěsu
g ... tíhové zrychlení (konstanta)
SHRNUTÍ
Perioda vlastního kmitání kyvadla závisí pouze na délce závěsu l a nezávisí na hmotnosti m a výchylce y.
V některých případech můžeme používat i
DOBU KYVU (τ tau)
τ = T/2
Doba kyvu je rovna polovině periody. Udává se také samozřejmě v sekundách.
Odvození jednotlivých vztahů (pro zájemce):
PRUŽINOVÝ OSCILÁTOR
Víme, že platí:
F = m.a ... 2. NPZ
F = - k.y ... dynam. kmit. pohybu
a = - ω2.y ... kinem. kmit. pohybu
ω = 2π/T ... vztah mezi ω a T
Potom po dosazení za sílu:
m . a = - k . y
m. (- ω2) . y = - k . y
ω2 = k/m
4π2/T2 = k/m
Po vyjádření T z předchozího vztahu:
KYVADLO
Z obrázku plyne:
sin α = ym/l a sin α = F/FG
potom ym/l = F/FG
vyjádříme sílu F:
F = FG.ym/l = m.g.ym/l
Navíc pro sílu F z 2. NPZ plyne:
F = m . a
a = ω2 . ym
ω = 2π/T
Po dosazení:
m . (4π2/T2) . ym= m . g. ym/l
T2 = 4π2 . l/g
Po vyjádření T z posledního vztahu:
ÚLOHY
ÚLOHA 1
Pružinový oscilátor vznikl zavěšením tělesa o hmotnosti 5 kg na pružinu, která se prodloužila o 10 cm. Určete periodu oscilátoru. (g = 9,8 m.s-2)
(0,63 s)
ÚLOHA 2
Kyvadlo s délkou závěsu 50 cm kmitá se stejnou periodou jako těleso zavěšené na pružině o tuhosti 40 N/m. Určete hmotnost tělesa. (g = 10 m.s-2)
(2 kg)