MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ

KMITAVÝ POHYB

Perioda mechanického oscilátoru

Vyvození a popis vztahů pro periodu pružinového oscilátoru a kyvadla.

PRUŽINOVÝ OSCILÁTOR

(kmitající pružina se zavěšeným závažím)

Vztah pro periodu pružinového oscilátoru:

Parametry pružinového oscilátoru:

m ... hmotnost závaží
k ... tuhost pružiny

SHRNUTÍ

Perioda vlastního kmitání pružinového oscilátoru závisí pouze na jeho parametrech, tj, na hmotnosti m tělesa a tuhosti pružiny k.

Takové kmitání nazýváme

VLASTNÍ KMITÁNÍ OSCILÁTORU

a jeho vlastní úhlovou frekvenci značíme ω0. Periodu potom značíme T0 a frekvenci f0.

KYVADLO

(jakékoliv těleso zavěšené nad těžištěm, které se může volně otáčet kolem vodorovné osy procházející bodem závěsu kolmo k rovině kmitání)

Vztah pro periodu kyvadla:

Parametr kyvadla:

l ... délka závěsu
g ... tíhové zrychlení (konstanta)

SHRNUTÍ

Perioda vlastního kmitání kyvadla závisí pouze na délce závěsu l a nezávisí na hmotnosti m a výchylce y.

V některých případech můžeme používat i

DOBU KYVU (τ tau)

τ = T/2

Doba kyvu je rovna polovině periody. Udává se také samozřejmě v sekundách.

Odvození jednotlivých vztahů (pro zájemce):

PRUŽINOVÝ OSCILÁTOR

Víme, že platí:

F = m.a ... 2. NPZ

F = - k.y ... dynam. kmit. pohybu

a = - ω2.y ... kinem. kmit. pohybu

ω = 2π/T ... vztah mezi ω a T

Potom po dosazení za sílu:

m . a = - k . y

m. (- ω2) . y = - k . y

ω2 = k/m

4π2/T2 = k/m

Po vyjádření T z předchozího vztahu:

KYVADLO

Z obrázku plyne:

sin α = ym/l a sin α = F/FG

potom ym/l = F/FG

vyjádříme sílu F:

F = FG.ym/l = m.g.ym/l

Navíc pro sílu F z 2. NPZ plyne:

F = m . a

a = ω2 . ym

ω = 2π/T

Po dosazení:

m . (4π2/T2) . ym= m . g. ym/l

T2 = 4π2 . l/g

Po vyjádření T z posledního vztahu:

ÚLOHY

ÚLOHA 1

Pružinový oscilátor vznikl zavěšením tělesa o hmotnosti 5 kg na pružinu, která se prodloužila o 10 cm. Určete periodu oscilátoru. (g = 9,8 m.s-2)

(0,63 s)

ÚLOHA 2

Kyvadlo s délkou závěsu 50 cm kmitá se stejnou periodou jako těleso zavěšené na pružině o tuhosti 40 N/m. Určete hmotnost tělesa. (g = 10 m.s-2)

(2 kg)

Page updated

Google Sites

Report abuse