MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ

KMITAVÝ POHYB

Přeměny energie mechanického oscilátoru

Vyvození a popis vztahů pro jednotlivé druhy mechanické energie pružinového oscilátoru.

Z kinematiky harmonického pohybu mechanického oscilátoru víme:

A

pokud oscilátor prochází 

rovnovážnou polohou

jeho rychlost je největší (v = max)

okamžitá výchylka je nulová (y = 0 m)

B

pokud se oscilátor se nachází 

v krajní poloze (amplitudě)

jeho rychlost je nejmenší (v = 0 m/s)

okamžitá výchylka je největší (y = max)

tento proces se pravidelně opakuje

Proto platí:

Při harmonickém pohybu se periodicky mění potenciální energie mechanického oscilátoru v energii kinetickou a naopak. Pokud na oscilátor nepůsobí vnější síly, je mechanická energie kmitání konstantní. Oscilátor kmitá s konstantní amplitudou. 

Podrobnější popis jednotlivých druhů mechanické energie PRUŽINOVÉHO OSCILÁTORU

POHYBOVÁ (KINETICKÁ) ENERGIE

souvisí s velikostí okamžité rychlosti v pružinového oscilátoru

EK = ½ . m . v2

v = ω . ym . cos(ω . t)

m ... hmotnost tělesa

vztah vyplývá ze zavedení pojmu mechanická energie a její druhy

POLOHOVÁ (POTENCIÁLNÍ) ENERGIE PRUŽNOSTI

souvisí s velikostí okamžité výchylky y

počítáme jí vzhledem k rovnovážné poloze

EP = ½ . k . y2

y = ym . sin(ω . t)

k ... tuhost pružiny

Vyvození vztahu pro potenciální energii pružnosti:

Vzájemná přeměna pohybové a polohové energie pružinového oscilátoru

Horní úvrať

Pro závaží platí:

Rovnovážná poloha

Pro závaží platí:

Dolní úvrať

Pro závaží platí:

SHRNUTÍ

Celková energie kmitání mechanického oscilátoru je konstantní a je přímo úměrná druhé mocnině amplitudy výchylky, popř. druhé mocnině amplitudy rychlosti vlastního kmitání.

Ec = ½.m.vm2 = ½.k.ym2 = konst.

ÚLOHY

ÚLOHA 1

Pružina se po zavěšení tělesa o hmotnosti 40 g prodloužila o 15 mm. Určete energii kmitání tohoto oscilátoru po vychýlení z rovnovážné polohy o 15 cm. (g = 9,8 m.s-2)

(0,29 J)

ÚLOHA 2

Hmotný bod koná harmonický pohyb určený rovnicí y = 6.sin(6.π.t) cm. V jakém čase je jeho kinetická energie třikrát větší než energie potenciální?

(1/36 s)